Diskrete Mathematik

Ein prototypisches Beispiel ist die Analyse von Ziffernentwicklungen, wie sie zur effizienten Implementierung von Skalarmultiplikation in der Elliptische-Kurven-Kryptographie eingesetzt werden können. Es werden redundante Ziffernmengen gewählt, um dadurch Entwicklungen mit geringem Gewicht und damit besseren Laufzeiten zu erzielen. Die relevanten Fragestellungen sind Wahl einer Ziffernmenge, Existenz und Minimalität der Darstellungen sowie die asymptotische und probabilistische Analyse des erzielten Gewichts.

Ein weiteres zentrales Interessengebiet der Gruppe sind Gitterpfade. Ein gängiges Beispiel für einen Gitterpfad ist ein Diagramm aus dem Aktienmarkt – der Preis einer Aktie wird regelmäßig gemessen und ein Liniensegment wird vom vorherigen Preis zum aktuellen Preis gezogen. Mathematisch gesehen können für Gitterpfade verschiedene Einschränkungen gelten wie ihr Anfangs- und Endpunkt sowie die zulässige vertikale Veränderung. Die Werkzeuge zur Untersuchung von Gitterpfaden umfassen eine Vielzahl von Methoden, die die von Bijektionen und erzeugenden Funktionen aus der „klassischen“ Kombinatorik bis hin zur Kernel-Methode aus der analytischen Kombinatorik reichen. Die wichtigste aktuelle Forschungsrichtung ist die Anwendung dieser Methoden auf Gitterpfade in der Viertel-Ebene.

Bäume sind mathematische Strukturen, die eng mit Gitterpfaden verwandt sind, und werden häufig verwendet, um Informationen zu speichern oder zu suchen – die zugrundeliegende Struktur von Dateien und Ordnern, die auf einem Computer gespeichert sind, ist ein Baum. Ein Thema der der Gruppe sind Reduktionsprozesse in Bäumen, die zum Beispiel das Entfernen der Blätter (Endpunkte, die im Beispiel Dateien oder leeren Ordnern entsprechen) eines Baumes in aufeinanderfolgenden Schritten. Diese Baumreduktionen können verwendet werden, um Parameter in Bäumen wie die Höhe zu untersuchen. Solche Parameter erlauben es, „Hauptstämme“ von Netzwerken zu identifizieren und zu charakterisieren.

Rechteckszerlegungen sind Unterteilungen eines Rechtecks in endlich viele Rechtecke. Ihre Untersuchung ist dadurch motiviert, dass sie ein grundlegendes Modell für das VLSI-Design, die Analyse geometrischer Algorithmen, die Visualisierung wissenschaftlicher Daten (wie Baumkarten und Kartogramme) usw. darstellen. Aus kombinatorischer Sicht sind Rechteckszerlegungen eine natürliche und reichhaltige Struktur, die mit Bäumen, Karten, Polytopen, Gitterpfaden usw. verwandt ist. In einem vom FWF geförderten Projekt, das kürzlich in unserer Gruppe durchgeführt wurde, untersuchten wir strukturelle und enumerative Fragen von Rechteckszerlegungen und ihre Darstellung durch Permutationen und Posets. Der aktuelle Untersuchungsgegenstand ist die Korrespondenz zwischen Mustern in Rechteckszerlegungen und Mustern in Permutationen.

Außerdem werden verschiedene andere Themen untersucht, darunter Projekte, die sich mit enumerativen, asymptotischen, strukturellen und algorithmischen Aspekten kombinatorischer, geometrischer, graphentheoretischer und algebraischer Strukturen und deren Eigenschaften befassen.

Ringe sind eines der wichtigsten Studienobjekte in der modernen Algebra und kommen in vielen anderen mathematischen Kontexten vor, z. B. in der Zahlentheorie, Geometrie, Kombinatorik, Kryptographie und Codierungstheorie. Wir untersuchen Ringe aus zwei Perspektiven. Zum einen untersuchen wir, wie viele und welche Faktorisierungen ihre Elemente haben können. Im Gegensatz zu den ganzen Zahlen zerfallen die Elemente im Allgemeinen nicht in ein Produkt von Primzahlen. Zum anderen untersuchen wir das idealtheoretische Analogon der Faktorisierung, die Primärzerlegung eines Ideals und seiner assoziierten Primideale. Letztere können verwendet werden, um zum Beispiel die irreduziblen Komponenten einer algebraischen Kurve oder bestimmte Färbungseigenschaften eines Graphen und seiner Untergraphen algebraisch zu beschreiben.

Ein Hauptthema in der Forschung über boolesche und p-äre Funktionen sowie über vektorielle Funktionen ist die Erzeugung und Analyse von Bent-Funktionen. Boolesche Bent- und vektorielle Bent-Funktionen sind die Funktionen mit der bestmöglichen Nichtlinearität und haben daher die beste Resistenz gegenüber linearen Angriffen in Block- und Stromchiffren. Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von vektoriellen Funktionen, die gegen differentielle Angriffe in Blockchiffren resistent sind. Bent-Funktionen, vektorielle Bent-Funktionen und verwandte Funktionen haben auch starke Verbindungen zu Objekten aus der Kombinatorik. Klassen von Bent-Funktionen und vektoriellen Bent-Funktionen ermöglichen die Konstruktion verschiedener Arten von Differenzmengen, projektiven Ebenen, stark regulären Graphen oder Assoziationsschemata.