Stochastische Optimierung befasst sich mit Optimierungsproblemen unter Unsicherheit und findet Anwendungen in Bereichen wie Wirtschaft, Physik, Ökologie und Medizin. Dabei wird angenommen, dass ein Modell der Unsicherheit verfügbar ist: So kann zum Beispiel die zukünftige Energienachfrage nicht exakt vorhergesagt werden. Sie lässt sich jedoch durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen annähern, die von Jahreszeit oder Wetter abhängen. In der Produktion können Unregelmäßigkeiten die physikalischen Eigenschaften von Produkten beeinflussen und durch wiederholte Fertigungen werden statistische Modelle dieser Schwankungen erzeugt.
Ein zentraler Schwerpunkt unserer Forschungsgruppe ist die Optimierung von Systemen, die durch physikalische Gesetze bestimmt werden. Diese Gesetze werden typischerweise durch Systeme gewöhnlicher oder partieller Differentialgleichungen beschrieben, wobei Unsicherheit in Form physikalischer Parameter oder externer Eingaben auftritt. Die resultierenden Probleme sind im Allgemeinen unendlichdimensional.
Die theoretischen Herausforderungen sind vielfältig. Existenz von Lösungen und Optimalitätstheorie müssen in Funktionenräumen entwickelt werden, was Werkzeuge aus der Funktionalanalysis und Stochastik erfordert. Viele physikalisch relevante Probleme weisen zudem Nichtglattheit auf, da Steuerungs- oder Zustandsvariablen häufig auf eine zulässige Menge beschränkt sind. Solche Strukturen erschweren die Analyse und Berechnung zusätzlich.
Auf der rechnerischen Seite existieren für die interessierenden physikalischen Zustände selten geschlossene Formeln, sodass numerische Näherungsverfahren wie Finite-Differenzen- oder Finite-Elemente-Methoden notwendig sind. Wenn die Unsicherheit die physikalischen Gesetze selbst beeinflusst, werden diese Probleme deutlich rechenintensiver, da mehrere Szenarien gleichzeitig berücksichtigt werden müssen. Eine zentrale Herausforderung ist es, den numerischen Fehler aus der Diskretisierung effizient mit dem stochastischen Fehler aus dem Sampling auszubalancieren.
Unsere Gruppe entwickelt Algorithmen, die sich diesen Herausforderungen stellen, indem sie klassische stochastische Approximations- und Regularisierungstechniken auf unendlichdimensionale Räume übertragen und gleichzeitig auf Fortschritte aus der Data Sciences zurückgreifen. Durch die Kombination von rigoroser Analyse mit effizienter Berechnung wollen wir robuste Werkzeuge für unsicherheitsbewusste Gestaltung und Entscheidungsfindung in physikbasierten Anwendungen entwickeln – von Ingenieurwesen und Materialwissenschaft bis hin zu Wirtschaftswissenschaften und darüber hinaus.
